Menurut
John von Neumann dan Oskar
Morgenstern permainan terdiri atas sekumpulan peraturan yang
membangun situasi bersaing dari dua sampai beberapa orang atau kelompok dengan
memilih strategi yang dibangun untuk memaksimalkan kemenangan sendiri atau pun
untuk meminimalkan kemenangan lawan. Peraturan-peraturan menentukan kemungkinan
tindakan untuk setiap pemain, sejumlah keterangan diterima setiap pemain
sebagai kemajuan bermain, dan sejumlah kemenangan atau kekalahan dalam berbagai
situasi.
Sedangkan Kartono menjelaskan bahwa teori permainan (Game Theory) merupakan
teori yang menggunakan pendekatan matematis dalam merumuskan situasi persaingan
dan konflik antara berbagai kepentingan. Teori ini dikembangkan untuk
menganalisa proses pengambilan keputusan yaitu strategi optimum dari
situasi-situasi persaingan yang berbeda-beda dan melibatkan dua atau lebih
kepentingan.
Secara umum teori permainan dapat
didefinisikan sebagai sebuah pendekatan
terhadap kemungkinan strategi yang akan
dipakai, yang disusun secara matematis agar bisa diterima secara logis dan rasional. Serta digunakan untuk
mencari strategi terbaik dalam
suatu aktivitas, di mana setiap pemain di dalamnya sama-sama mencapai utilitas tertinggi.
Ide dasar dari teori permainan adalah
tingkah laku strategis dari pemain atau pengambil keputusan. Setiap pemain
diasumsikan mempunyai suatu seri rencana atau model tingkah laku dari mana
pemain dapat memilih, jika memilih suatu himpunan strategi. Permainan diartikan
sebagai gerakan khusus yang harus dipilih dari himpunan strategi yang ada.
Anggapannya bahwa setiap pemain mempunyai kemampuan untuk mengambil keputusan secara
bebas dan rasional.
Teori ini menyediakan suatu bahasa untuk
memformulasikan, menstrukturkan, menganalisa dan mengerti skenario strategi
serta digunakan untuk pemilihan strategi. Langkah pertama dalam menggunakan
teori permainan adalah menentukan secara eksplisit pemain, strategi-strategi
yang ada dan juga menentukan preferensi serta reaksi dari setiap pemain.
Ketentuan Umum Dan Model Teori Permainan
Ketentuan
umum dari teori permainan adalah :
1. Setiap pemain bermain rasional, dengan asumsi
memiliki intelegensi yang sama, dan tujuan sama, yaitu memaksimumkan payoff,
dengan kriteria maksimin dan minimaks.
2. Minimal terdiri dari 2 pemain, keuntungan bagi
salah satu pemain merupakan kerugian bagi pemain lain.
3. Tabel yang disusun menunjukkan keuntungan
pemain baris, dan kerugian pemain kolom.
4. Permainan dikatakan adil jika hasil akhir
menghasilkan nilai nol (0), tidak ada yang menang/kalah.
5.
Tujuan dari teori
permainan ini adalah mengidentifikasi strategi yang paling optimal
Model teori permainan dapat diklasifikasikan
dengan sejumlah cara seperti jumlah pemain, jumlah keuntungan dan kerugian
serta jumlah strategi yang digunakan dalam permainan. Contoh bila jumlah pemain
adalah dua, pemain disebut sebagai permainan dua-pemain. Jika jumlah keuntungan
dan kerugian adalah nol, disebut permainan jumlah nol (zero-sumgame) atau jumlah konstan. Sebaliknya bila tidak sama
dengan nol, permainan disebut permainan bukan jumlah nol (non zero-sumgame).
Unsur-Unsur Dalam Teori Permainan
Berikut
ini akan diuraikan beberapa unsur atau elemen dasar yang penting dalam penyelesaian
dari setiap kasus dengan teori permainan dengan mengambil permainan dua pemain
jumlah nol.
Dari tabel diatas
dapat diuraikan unsur-unsur dasar teori permainan :
1.
Angka-angka dalam
matriks payoff, atau biasa disebut matriks permainan, menunjukkan hasil-hasil
dari strategi-strategi permainan yang berbeda-beda. Hasil-hasil ini dinyatakan
dalam suatu bentuk ukutan efektivitas, seperti uang, persentase market share.
..Dalam permainan dua pemain jumlah nol, bilangan-bilangan positif menunjukkan keuntungan
bagi pemain baris (maximizing player), dan merupakan kerugian bagi pemain kolom
(maximizing player). Sebagai contoh, bila pemain A mempergunakan strategi A1
dan pemain B memilih strategi B2, maka hasilnya A memperoleh keuntungan 9 dan B
kerugian 9. Anggapannya bahwa matriks payoff diketahui oleh kedua pemain.
2.
Suatu strategi
permainan adalah rangkaian kegiatan atau rencana yang menyeluruh dari seorang
pemain, sebagai reaksi atas aksi yang mungkin dilakukan oleh pemain lain yang
menjadi pesaingnya. Dalam hal ini dianggap bahwa suatu strategi tidak dapat dirusak
oleh para pesaing atau faktor lain. Dalam tabel di atas pemain A mempunyai 2 strategi
yaitu A1 dan A2 dan pemain B mempunyai 3 strategi yaitu (B1, B2, B3).
3.
Aturan-aturan
permainan menggambarkan kerangka dengan mana
para pemain memilih strategi mereka. Sebagai contoh, dipakai anggapan bahwa
para pemain harus memilih strategi-strategi mereka secara simultan dan bahwa
permainan adalah berulang.
4.
Nilai
permainan adalah hasil yang diperkirakan
permainan atau payoff rata-rata dari sepanjang rangkaian permainan, di mana
kedua pemain mengikuti atau mempergunakan strategi mereka yang paling baik atau
optimal. Suatu permainan dikatakan “adil” (fair) apabila nilainya nol,
dimana tak ada pemain yang memperoleh keuntungan atau kemenangan. Permainan
dikatakan “tidak adil” (unfair) apabila nilainya bukan nol.
5.
Suatu strategi
dikatakan dominan bila setiap payoff dalam strategi adalah superior terhadap
setiap payoff yang berhubungan dalam suatu strategi alternatif. Nilai permainan
adalah 4. Aturan dominan ini dapat digunakan untuk mengurangi ukuran matriks
payoff dan upaya perhitungan.
6.
Suatu strategi
optimal adalah rangkaian kegiatan, atau rencana yang menyeluruh, yang
menyebabkan seorang pemain dalam posisi yang paling menguntungkan tanpa memperhatikan
kegiatan-kegiatan para pesaingnya. Pengertian posisi menguntungkan adalah bahwa
adanya devisi (penyimpangan) dari strategi optimal, atau rencana optimal, akan
menurunkan payoff.
7. Tujuan dari model permainan adalah
mengindentifikasikan stratagi atau rencana optimal untuk setiap pemain. Dari
contoh diatas, strategi optimal untuk A
adalah A2, dan B3 adalah strategi optimal untuk B.
Strategi Dalam Teori Permainan
Permainan
Strategi Murni (Pure-Strategy Game)
Dalam permainan strategi murni, strategi
optimal untuk setiap pemain adalah dengan menggunakan strategi tunggal. Pemain
baris mengidentifikasikan strategi optimalnya melalui aplikasi kriteria
maksimin(maximin) dan pemain kolom dengan kriteria minimaks (minimax). Nilai
yang dicapai harus merupakan maksimum dari minimaks baris dan minimum dari maksimin
kolom, titik ini dikenal sebagai titik pelana (saddle point). Bila nilai
minimaks tidak sama dengan nilai maksimin maka permainan tidak dapat dipecahkan
dengan strategi murni harus menggunakan strategi campuran.
Langkah-langkah
penyelesaian:
1. Carilah nilai minimum baris dan maksimum
kolom.
2. Dari nilai-nilai minimum setiap baris cari
nilai maksimalnya atau disebut nilai maksimin. Sedangkan dari nilai maksimum
kolom tentukan satu nilai minimal sebagai nilai minimaks.
3.
Bila nilai
minimaks sama dengan nilai maksimin, berarti strategi yang paling optimal untuk
masing-masing pemain telah ditemukan.
Dari contoh soal
(dari tabel sebelumnya), penyelesaian teori permainannya adalah seperti tabel
berikut:
Dari hasil tabel
diatas nilai maksimin dan minimaks sama, sehingga strategi yang optimal untuk A
adalah strategi A2 (baris di mana terdapat nilai maksimin) dan untuk B adalah
strategi B3 (strategi di mana terdapat nilai minimaks).
Permainan Strategi Campuran (Mixed-Strategy
Game)
Seperti
dikatakan sebelumnya bahwa bila nilai maksimin dan minimaks tidak sama. Penyelesaian
soal adalah dengan strategi campuran. Untuk memperjelas penjelasan strategi ini
digunakan contoh berikut:
Dari tabel diatas diketahui bahwa nilai
maksimin tidak sama dengan nilai minimaks. Dengan menerapkan aturan dominan
maka strategi B3 didominasi oleh strategi B2 sehingga kolom B3 dihapuskan.
Demikian juga strategi A2 didominasi oleh strategi A1 sehingga baris A2 dihilangkan.
Matriks permainan berubah menjadi seperti berikut :
Karena
nilai maksimin tetap tidak sama dengan nilai minimaks maka penyelesaian
permainan strategi ini dapat dilakukan dengan menggunakan metode grafik, metode
aljabar matriks, metode analitis atau linear programming.
Metode
Analitis
Dalam pola ini
kita menentukan suatu distribusi probabilitas untuk strategi-strategi yang berbeda.
Nilai-nilai probabilitas pay off dapat dihitung dengan cara berikut:
* Untuk pemain A
Anggap bahwa digunakan strategi A1 dengan probabilitas
P, dan untuk strategi A3 probabilitasnya 1-p. Jika strategi yang digunakan oleh
B adalah B1 maka keuntungan yang diharapkan A adalah:
2p
+ 6(1 -P) = 6 - 4p
Bila
B menggunakan strategi B2, maka keuntungan yang diharapkan A adalah:
5p
+ 1(1 - p) = 1 + 4p
Strategi
optimal untuk A diperoleh dengan menyamakan kedua payoff yang diharapkan,
sehingga diperolehnya:
6
- 4p = 1 + 4p
p
= 0,625
Ini
berarti pemain A harus menggunakan strategi A1 62,5% dan strategi A3 37,5%.
Keuntungan
yang diharapkan pemain A :
=
0,625 ( 2 ) + 0,375 ( 6 )
=
0,625 ( 5 ) + 0,375 ( 1 )
= 3,5
* Untuk pemain B
Dengan
cara yang sama dapat dihitung pay off yang diharapkan untuk pemain B. Probabilitas
untuk strategi B1 adalah q dan B2 adalah 1 - q.
maka
:
Kerugian
B, jika A menggunakan strategi A1 adalah :
2q
+ 5 (1 - q) = 5 - 3q
Kerugian
B, jika A menggunakan strategi A3 adalah :
6q
+ 1 (1 - q) = 1 + 5q
Strategi
optimal untuk pemain B adalah :
5
- 3q = 1 + 5q
q
= 0,50
Hasil
ini berarti pemain B seharusnya menggunakan strategi B1 50% dan strategi B2.
Kerugian
yang diharapkan untuk pemain B:
=
0,50 ( 2 ) + 0,50 ( 5 )
=
0,50 ( 6 ) + 0,50 ( 1 )
= 3,5
Sumber:
